O Problema do Triângulo Inscrito num Círculo

Aluno(a): _____________________________________________________ Turma: ______  
Professor(a):  _________________________________________________________________________

Enunciado do Problema

Queremos encaixar (inscrever) dentro de um círculo um triângulo isósceles com a maior área possível. Se o círculo tem 3 metros de raio, quanto deve ser x, a medida em metros da altura do triângulo, para que a área A do triângulo seja a maior possível?

[01] (a) Para se familiarizar com o problema, na Parte 1 da atividade, digite alguns valores para x, observando o formato correspondente do triângulo isósceles e o valor da sua área A. Anote os valores que você digitou na tabela abaixo (acrescente mais linhas, caso sejam necessárias). Atenção: neste momento, você não precisa se preocupar em determinar o valor de x que maximiza a área A. Isto será feito mais adiante.

x	A	

		

		

        (b) Você digitou algum valor para x que foi recusado pelo programa? Em caso afirmativo, escreva quais foram estes valores. 

        (c) Os valores de x = 20, x = 2, x = 0, x = 6, x = 0.001, x = 6.001 e  x = 5.999 são recusados pelo programa? Por que sim? Por que não?

[02]  O problema em questão pode ser modelado por uma função real f de domínio D.

(a)	Vá para a Parte 2 da atividade (clique no link no topo da Parte 1). Habilite a opção “Rastro” e arraste o ponto M. 
O programa irá marcar alguns pontos do gráfico da função f. Habilite então a opção “Gráfico” para ver o gráfico da função f. Copie à mão este gráfico aqui.
(b)	Determine o domínio D da função f e uma expressão para f(x), isto é, determine o conjunto D de todos os valores de x para os quais o problema "tem sentido" e, para valores de x em D, uma expressão para f(x). Confira sua resposta usando o programa: digite os dados nos campos correspondentes e, então, pressione o botão “Conferir!” para conferir sua resposta. Para fins de comparação, o programa sempre desenhará o gráfico da função que você especificou. Importante: você não deve resolver este item por “tentativa e erro”. Pegue lápis e papel e, usando seus conhecimentos de geometria, tente obter o domínio D e uma expressão para f(x). Use então o programa para conferir sua resposta. Anote o seu raciocínio nesta folha.
(c)	Você acertou a função e o domínio de primeira? Em caso negativo, quantas tentativas você usou até o programa lhe dizer que você acertou a resposta? O que você estava errando?

[03] É possível demonstrar que existe um único número real p em D que maximiza a área A do triângulo isósceles inscrito. Usando a Parte 1 da atividade (através de “tentativa e erro”), determine uma aproximação do valor deste p ótimo com duas casas decimais corretas.

[04] Quantos triângulos isósceles inscritos diferentes com área igual a 10 m2 podem ser construídos? Justifique sua resposta!

[05] É possível construir um triângulo isósceles inscrito com área igual a 15 m2? Por que sim? Por que não? 

[06] Será que é possível determinar o ponto p ótimo cuja aproximação você calculou no Item [03]? A resposta é sim! É possível demonstrar que o único número real p em D que maximiza a área A do triângulo isósceles inscrito satisfaz a equação 

 x  (2 x  9) = 0.

Resolva esta equação e determine o valor de p. Compare com sua resposta para o Item [03]. Importante: não se preocupe, neste momento, em saber como a equação acima foi obtida. Caso você faça a disciplina “Cálculo Diferencial e Integral” na universidade, você aprenderá técnicas matemáticas que permitem deduzir esta equação.

[07] Verifique que o triângulo isósceles correspondente ao número real p que você calculou no Item [06] é um triângulo equilátero. Quais são as medidas dos lados deste triângulo equilátero?

[08] Qual é a imagem da função f que você estabeleceu no item [02] (b)? Em quais intervalos a função f é crescente? E decrescente?

[09] Existe algum valor de x em D que minimiza a função que você estabeleceu no item [02] (b)? Por que sim? Por que não?