Observe a figura ao lado: o número que aparece em cada hexágono verde é a soma dos números que aparecem nos hexágonos em azul, vizinhos da linha superior. Essa propriedade, conhecida como relação de Stifel, estabelece a seguinte igualdade:

Os dois termos do lado esquerdo correspondem aos hexágonos azuis (linha superior) e o termo do lado direito corresponde ao hexágono verde (linha inferior). Preenchidas as diagonais laterais com o algarismo 1, a relação de Stifel permite a obtenção recursiva dos elementos de cada linha do triângulo de Pascal. A diagonal esquerda corresponde aos coeficientes binomiais

e a diagonal direita aos coeficientes

Em cada linha do triângulo de Pascal, os números equidistantes dos extremos são iguais. Em termos dos coeficientes binomiais, temos a seguinte relação:

Estes números binomiais são chamados números binomiais complementares.

Ao longo das linhas do triângulo de Pascal, os elementos distantes uma posição dos extremos correspondem aos números naturais, uma vez que

Para uma linha n qualquer, a soma dos elementos é igual a 2ⁿ Esse é o teorema das linhas, que estabelece a seguinte relação:

Observe bem a figura ao lado. Os elementos em azul são elementos de uma mesma coluna p e sempre começam na diagonal direita, que corresponde à linha p. O elemento em verde, posicionado na coluna seguinte e linha seguinte à linha do último elemento azul, é igual à soma dos elementos em azul. Este resultado, conhecido como teorema das colunas, estabelece que

Note que os hexágonos coloridos têm uma forma parecida com um taco de hóquei, denominação às vezes utilizada nas referências a este teorema.

Os elementos da linha n do triângulo de Pascal são os coeficientes na expansão do binômio de Newton, que é um binômio da forma

em que n é um número natural, denominado ordem do binômio. Temos o seguinte resultado, que está ilustrado na figura ao lado:

Observe os números nas diagonais marcadas pelas linhas vermelhas, cujas somas encontram-se ao lado.

Essas somas formam a sequência de Fibonacci: os dois primeiros elementos dessa sequência são iguais a 1. A partir do terceiro, cada elemento é igual à soma dos dois anteriores.

Resulta, então a sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...

As potências de 11 podem ser obtidas a partir dos elementos das linhas do triângulo de Pascal. Veja a figura ao lado: até a linha 4, todos os números do triângulo têm apenas um algarismo e as potências de 11 são obtidas diretamente, ou seja:

A partir da linha 5, que equivale à quinta potência de 11, já aparecem números com mais de um algarismo. Os algarismos que não correspondem à unidade podem ser acrescentados à próxima potência de 10, de forma que, ao final, os coeficientes de todas as potências de 10 serão formadas por um único algarismo. Clique aqui para ver alguns exemplos.