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Observe a figura ao lado: o número que aparece em cada hexágono verde é a
soma dos números que aparecem nos hexágonos em azul, vizinhos da linha superior.
Essa propriedade, conhecida como relação de Stifel, estabelece a seguinte
igualdade:
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Os dois termos do lado esquerdo correspondem aos hexágonos azuis (linha superior)
e o termo do lado direito corresponde ao hexágono verde (linha inferior).
Preenchidas as diagonais laterais com o algarismo 1, a relação de
Stifel permite a obtenção recursiva dos elementos de cada linha do
triângulo de Pascal.
A diagonal esquerda corresponde aos coeficientes binomiais
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e a diagonal direita aos coeficientes
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Em cada linha do triângulo de Pascal, os números equidistantes dos extremos
são iguais. Em termos dos coeficientes binomiais, temos a seguinte relação:
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Estes números binomiais são chamados números binomiais complementares.
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Ao longo das linhas do triângulo de Pascal, os elementos distantes
uma posição dos extremos correspondem aos números naturais, uma vez que
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Para uma linha n qualquer, a soma dos elementos é igual a 2n
Esse é o teorema das
linhas, que estabelece a seguinte relação:
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Observe bem a figura ao lado. Os elementos em azul são elementos de uma
mesma coluna p e sempre começam na diagonal direita, que corresponde à
linha p. O elemento em verde, posicionado na coluna seguinte e linha seguinte
à linha do último elemento azul, é igual à soma dos elementos em azul. Este
resultado, conhecido como teorema das colunas, estabelece que
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Note que os hexágonos coloridos têm uma forma parecida com um taco de hóquei,
denominação às vezes utilizada nas referências a este teorema.
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Os elementos da linha n do triângulo de Pascal são os coeficientes na
expansão do binômio de Newton, que é um binômio da forma
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em que n é um número natural, denominado ordem do binômio. Temos o
seguinte resultado, que está ilustrado na figura ao lado:
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Observe os números nas diagonais marcadas pelas linhas vermelhas, cujas
somas encontram-se ao lado.
Essas somas formam a sequência de Fibonacci: os
dois primeiros elementos dessa sequência são iguais a 1. A partir do terceiro,
cada elemento é igual à soma dos dois anteriores.
Resulta, então a sequência
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...
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As potências de 11 podem ser obtidas a partir dos elementos das linhas
do triângulo de Pascal. Veja a figura ao lado: até a linha 4, todos
os números do triângulo têm apenas um algarismo e as potências
de 11 são obtidas diretamente, ou seja:
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A partir da linha 5, que equivale à quinta potência de 11, já
aparecem números com mais de um algarismo. Os algarismos que não
correspondem à unidade podem ser acrescentados à próxima potência
de 10, de forma que, ao final, os coeficientes de todas as potências
de 10 serão formadas por um único algarismo.
Clique aqui para ver alguns exemplos.
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Observe a figura ao lado: ela foi obtida pintando-se de preto todos os
hexágonos correspondentes a números ímpares e ignorando-se os
demais. Essa figura é uma aproximação do Triângulo de
Sierpinski, que é um exemplo de fractal.
No programa da atividade, aperte simultaneamente as teclas CTRL e S para
construir o triângulo de Sierpinsky, tendo o cuidado de aumentar o
número de linhas para obter uma melhor aproximação.
De forma simplificada, fractal é uma figura geométrica definida em
uma região limitada, que possui padrões que se repetem
indefinidamente (por isso a figura ao lado é uma aproximação).
A palavra fractal vem do latim fractus, que significa quebrado ou
fraturado e foi introduzida pelo polonês Benoît Mandelbrot em 1975.
Remete também aos números fracionários, indicando, assim, que
tais objetos têm dimensão não inteira.
Outra propriedade dos fractais é a auto-semelhança ou simetria
através das escalas. Isso significa que cada pequena porção de um
fractal pode ser vista como uma réplica do fractal completo, mas em uma
escala menor.
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