Caro professor, caso tenha qualquer questionamento, não hesite em nos contactar pelo e-mail:

conteudosdigitais@im.uff.br

Nesta atividade apresentamos um software para construção e exploração do Triângulo de Pascal.

O objetivo da atividade é explorar o triângulo de Pascal, desde sua construção até propriedades básicas, algumas das quais úteis no estudo da teoria dos conjuntos e das probabilidades.

Sugerimos que a atividade seja utilizada logo depois da introdução dos conceitos de análise combinatória referentes a permutações, arranjos e combinações, para que as propriedades do triângulo de Pascal possam ser apresentadas em termos dos números combinatórios.

Essa atividade pode ser usada em sala de aula com o auxílio de um datashow (projetor multimídia). O software permite e facilita a construção passo a passo do triângulo de Pascal, bem como a ilustração das propriedades básicas. Em sala de aula, use o software para mostrar propriedades como a relação de Stifel, os números complementares, etc. O aspecto interativo do programa certamente tornará sua aula mais dinâmica e interessante.

Como atividade extraclasse, peça aos seus alunos que estudem as propriedades apresentadas através das animações dadas ao final do programa e tentem reproduzir todas elas com auxílo do programa. Durante a realização da atividade extraclasse, é fundamental que o aluno preencha o seguinte questionário de acompanhamento:

pascal-aluno-br.rtf.

Sinta-se à vontade para modificá-lo ou ampliá-lo, de acordo com suas necessidades.

Este formulário também estará acessível na página principal da atividade através do seguinte ícone:

A atividade pode ser acessada usando a internet, através dos links

http://www.uff.br/cdme/pascal/,

http://www.cdme.im-uff.mat.br/pascal/

ou, se você preferir, solicite que o responsável pelo laboratório da escola instale a atividade para acesso offline, isto é, sem a necessidade de conexão com a internet. Neste caso, não será possível o acesso aos links externos.

A atividade pode ser executada em qualquer sistema operacional: Windows, Linux e Mac OS. Porém, para executá-la, é preciso que o computador tenha a linguagem JAVA instalada.

A instalação da linguagem JAVA pode ser feita seguindo as orientações disponíveis no seguinte link http://www.java.com/pt_BR/.

Importante: algumas distribuições Linux vêm com o interpretador JAVA GCJ Web Plugin que não é compatível com o applet da atividade. Neste caso, recomendamos que você solicite ao responsável pelo laboratório da escola que instale o interpretador nativo da Sun, disponível no link http://www.java.com/pt_BR/.

Acessibilidade: a partir da Versão 2 do Firefox e da Versão 8 do Internet Explorer, é possível usar as combinações de teclas indicadas na tabela abaixo para ampliar ou reduzir uma página da internet, o que permite configurar estes navegadores para uma leitura mais agradável.

Combinação de Teclas	Efeito
	Ampliar
	Reduzir
	Voltar para a configuração inicial

Vantagens deste esquema: (1) além de áreas de texto, este sistema de teclas amplia também figuras e aplicativos FLASH e (2) o sistema funciona para qualquer página da internet, mesmo para aquelas sem uma programação nativa de acessibilidade.

Muitos alunos costumam dizer que entenderam as propriedades e, no entanto, não conseguem aplicá-las corretamente em contextos reais. Assim, é importante que você associe propriedades e definições a exemplos, para que os alunos possam fixar os conceitos. Eis algumas dicas:

Permutação, arranjo, combinação
É comum iniciar-se o ensino dos métodos de contagem pelas permutações, como consequência direta do princípio fundamental da multiplicação. Em seguida, passamos para arranjos, que nada mais são que permutações de k elementos tirados dentre n. Mas se perguntamos aos alunos se, na permutação, a ordem importa, é muito comum obtermos a resposta NÃO! Associe o conceito de permutação (e, por conseguinte, o de arranjo) a filas - filas de cinema, filas de banco, filas de supermercado. É sempre bom estar na frente em uma fila, certo? Então, a ordem importa, sim!

Para introduzir o conceito de combinação, comece listando todos os 60 arranjos de 3 elementos retirados entre 5. Denote por A, B, C, D, E esses elementos e comece com os 6 arranjos que envolvem os elementos A, B, C; depois passe para os 6 que envolvem A, B, D. Prossiga com mais alguns subconjuntos. Lance a pergunta: e se tivéssemos interessados em subconjuntos de 3 elementos? Instigue os alunos a pensarem: faz diferença o subconjunto ABC ou o subconjunto BCA? Ou ACB? A partir daí, chegue na fórmula da combinação, dividindo a fórmula do arranjo de 3 dentre 5 pelo número de permutações dos elementos envolvidos, que é 3! . Enfatize a associação com subconjuntos, em que a ordem dos elementos não importa. Use o triângulo de Pascal para mostrar os números combinatórios.

Números complementares
Peça aos alunos para calcularem o número de maneiras de se obterem 3 caras em 5 lançamentos de uma moeda. Depois peça para eles calcularem o número de maneiras de se obterem 2 coroas em 5 lançamentos. Mostre que, controlando as maneiras de saírem 3 caras, estamos automaticamente controlando o número de maneiras de saírem 2 coroas. Logo, podemos pensar nesses dois resultados como eventos equivalentes, que levam à igualdade dos números complementares: "combinação de três dentre cinco é igual à combinação de dois dentre cinco".

Como instrumento de avaliação, sugerimos que você peça aos alunos para elaborarem um resumo sobre o triângulo de Pascal, abordando suas principais características e propriedades. Recomendamos que esse texto e o questionário de acompanhamento preenchido durante a realização da atividade sejam avaliados em conjunto para identificar dúvidas ainda existentes.

Morgado, A.C.O.; Carvalho, J.B.P.; Carvalho, P.C.P.; Fernandez, P. Análise Combinatória e Probabilidade, Coleção do Professor de Matemática. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2006

Hazzan, S. Fundamentos de Matemática Elementar: Combinatória, Probabilidade - vol. 5, 7a. edição. São Paulo: Atual Editora, 2004.

Julianelli, J.R.; Dassie, B.A.; Lima, M.L.A.; Sá, I.P. Curso de Análise Combinatória e Probabilidade - Aprendendo com a resolução de problemas. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna, 2009.

Iezzi, G.; Dolce, O.; Degenszjan, D.; Périgo, R.; Almeida, N. Matemática - Ciência e Aplicações, 4a. edição. São Paulo: Editora Atual, 2006.