Subject: Funções
Author: Conteúdos Digitais
Last saved by: Humberto José Bortolossi
Company: Universidade Federal Fluminense e Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro
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O Problema da Janela Normanda

Aluno(a): _____________________________________________________ Turma: ______  
Professor(a):  _________________________________________________________________________

Enunciado do Problema

Uma janela normanda tem o formato da justaposição de um semicírculo sobre um retângulo. Considerando as janelas normandas com perímetro igual a 9 m, quanto deve ser x, a medida em metros da base do retângulo que compõe a janela, para que a área A da janela seja a maior possível?

[01] (a) Para se familiarizar com o problema, na Parte 1 da atividade, digite alguns valores para x, observando o desenho da janela normanda correspondente e o valor área A da janela. Anote os valores que você digitou na tabela abaixo (acrescente mais linhas, caso sejam necessárias). Atenção: neste momento, você não precisa se preocupar em determinar o valor de x que maximiza a área A. Isto será feito mais adiante.

x | A

        (b) Você digitou algum valor para x que foi recusado pelo programa? Em caso afirmativo, escreva quais foram estes valores. 

        (c) Os valores de x = 20, x = −2, x = 0, x = 3.5, x = 3.5008 e x = 3.5009 são recusados pelo programa? Por que sim? Por que não?

[02]  O problema em questão pode ser modelado por uma função real f de domínio D.

(a)	Vá para a Parte 2 da atividade (clique no link no topo da Parte 1). Habilite a opção “Rastro” e arraste o ponto M. 
O programa irá marcar alguns pontos do gráfico da função f. Habilite então a opção “Gráfico” para ver o gráfico da função f. Copie à mão este gráfico aqui.
(b)	Determine o domínio D da função f e uma expressão para f(x), isto é, determine o conjunto D de todos os valores de x para os quais o problema "tem sentido" e, para valores de x em D, uma expressão para f(x). Confira sua resposta usando o programa: digite os dados nos campos correspondentes e, então, pressione o botão “Conferir!” para conferir sua resposta. Para fins de comparação, o programa sempre desenhará o gráfico da função que você especificou. Importante: você não deve resolver este item por “tentativa e erro”. Pegue lápis e papel e, usando seus conhecimentos de geometria, tente obter o domínio D e uma expressão para f(x). Use então o programa para conferir sua resposta. Anote o seu raciocínio nesta folha.
(c)	Você acertou a função e o domínio de primeira? Em caso negativo, quantas tentativas você usou até o programa lhe dizer que você acertou a resposta? O que você estava errando?

[03] É possível demonstrar que existe um único número real p em D que maximiza a área A da janela. Determine este número real p.

[04] Quantas janelas normandas diferentes de perímetro 9 m e área A igual a 2 m^2 podem ser construídas? Justifique sua resposta!

[05] Quantas janelas normandas diferentes de perímetro 9 m e área A igual a 5 m^2 podem ser construídas? Justifique sua resposta!

[06] É possível construir uma janela normanda de perímetro 9 m e área A igual a 7 m^2? Por que sim? Por que não? 

[07] Qual é a imagem da função f que você estabeleceu no item [02] (b)? Em quais intervalos a função f é crescente? E decrescente?

[08] Existe algum valor de x em D que minimiza a função que você estabeleceu no item [02] (b)? Por que sim? Por que não?

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