Subject: Funções
Author: Conteúdos Digitais
Last saved by: Humberto José Bortolossi
Company: Universidade Federal Fluminense e Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro
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O Problema da Distância entre Ponto e Parábola

Aluno(a): _____________________________________________________ Turma: ______  
Professor(a):  _________________________________________________________________________

Enunciado do Problema

Dado um ponto A no plano cartesiano, quanto deve ser x para que a distância d entre A e M = 
(x, x^2) (um ponto da parábola y = x^2) seja a menor possível?

MÓDULO 1: A = (1, 3)

Caso o ponto A não esteja na posição (1, 3) na Parte 1, clique e arraste-o para esta posição antes de prosseguir.

[01] (a) Para se familiarizar com o problema, na Parte 1 da atividade, digite alguns valores para x, observando a posição do ponto M correspondente e o valor da distância d entre A e M. Anote os valores que você digitou na tabela abaixo (acrescente mais linhas, caso sejam necessárias). Atenção: neste momento, você não precisa se preocupar em determinar o valor de x que minimiza a distância d. Isto será feito mais adiante.

x | d

        (b) Você digitou algum valor para x que foi recusado pelo programa? Em caso afirmativo, escreva quais foram estes valores. 

        (c) Os valores de x = −6, x = 0, x = 6, x = 20 e x = 100 são recusados pelo programa? Por que sim? Por que não?

[02]  O problema em questão pode ser modelado por uma função real f de domínio D.

(a)	Vá para a Parte 2 da atividade (clique no link no topo da Parte 1). Habilite a opção “Rastro” e arraste o ponto M. 
O programa irá marcar alguns pontos do gráfico da função f. Habilite então a opção “Gráfico” para ver o gráfico da função f. Copie à mão este gráfico aqui.
(b)	Determine o domínio D da função f e uma expressão para f(x), isto é, determine o conjunto D de todos os valores de x para os quais o problema "tem sentido" e, para valores de x em D, uma expressão para f(x). Confira sua resposta usando o programa: digite os dados nos campos correspondentes e, então, pressione o botão “Conferir!” para conferir sua resposta. Para fins de comparação, o programa sempre desenhará o gráfico da função que você especificou. Importante: você não deve resolver este item por “tentativa e erro”. Pegue lápis e papel e, usando seus conhecimentos de geometria, tente obter o domínio D e uma expressão para f(x). Use então o programa para conferir sua resposta. Anote o seu raciocínio nesta folha.
(c)	Você acertou a função e o domínio de primeira? Em caso negativo, quantas tentativas você usou até o programa lhe dizer que você acertou a resposta? O que você estava errando?

[03] É possível demonstrar que existe um único número real p em D que minimiza a distância d. Usando a Parte 1 da atividade (através de “tentativa e erro”), determine uma aproximação do valor deste p ótimo com duas casas decimais corretas.

[04] Quantos pontos diferentes da parábola estão a uma distância igual a 4 u.c. do ponto A? Justifique sua resposta!

[05] Existe algum ponto da parábola que está a uma distância igual a 0.5 u.c. do ponto A? Por que sim? Por que não? 

[06] Será que é possível determinar o ponto p ótimo cuja aproximação você calculou no Item [03]? A resposta é sim! É possível demonstrar que o único número real p em D que minimiza a distância d é igual a

Use uma calculadora para calcular uma aproximação de p e compare com sua resposta para o Item [03]. Importante: não se preocupe, neste momento, em saber como a expressão acima para o número p foi obtida. Caso você faça a disciplina “Cálculo Diferencial e Integral” na universidade, você aprenderá técnicas matemáticas que permitem obter este número.

[07] Qual é a imagem da função f que você estabeleceu no item [02] (b)? Dê um intervalo onde a função f é crescente e um intervalo onde a função d é decrescente.

[08] Existe algum valor de x em D que maximiza a função que você estabeleceu no item [02] (b)? Por que sim? Por que não?

MÓDULO 2: A = (0, 3)

Caso o ponto A não esteja na posição (0, 3) na Parte 1, clique e arraste-o para esta posição antes de prosseguir.

[01] (a) Digite alguns valores para x, observando a posição do ponto M correspondente e o valor da distância d entre A e M. Anote os valores que você digitou na tabela abaixo (acrescente mais linhas, caso sejam necessárias).

x | d

        (b) Você digitou algum valor para x que foi recusado pelo programa? Em caso afirmativo, escreva quais foram estes valores. 

        (c) Os valores de x = −6, x = 0, x = 6, x = 20 e x = 100 são recusados pelo programa? Por que sim? Por que não?

[02]  O problema em questão pode ser modelado por uma função real f de domínio D.

(a)	Vá para a Parte 2 da atividade (clique no link no topo da Parte 1). Habilite a opção “Rastro” e arraste o ponto M. 
O programa irá marcar alguns pontos do gráfico da função f. Habilite então a opção “Gráfico” para ver o gráfico da função f. Copie este gráfico aqui.
(b)	Determine o domínio D da função f e uma expressão para f(x), isto é, determine o conjunto D de todos os valores de x para os quais o problema "tem sentido" e, para valores de x em D, uma expressão para f(x). Confira sua resposta usando o programa: digite os dados nos campos correspondentes e, então, pressione o botão “Conferir!” para conferir sua resposta. Para fins de comparação, o programa sempre desenhará o gráfico da função que você especificou. Importante: você não deve resolver este item por “tentativa e erro”. Pegue lápis e papel e, usando seus conhecimentos de geometria, tente obter o domínio D e uma expressão para f(x). Use então o programa para conferir sua resposta.
(c)	Você acertou a função e o domínio de primeira? Em caso negativo, quantas tentativas você usou até o programa lhe dizer que você acertou a resposta? O que você estava errando?

[03] É possível demonstrar que existem exatamente dois números reais p em D que minimizam a distância d. Usando a Parte 1 da atividade (através de “tentativa e erro”), determine aproximações dos valores destes dois p ótimos com duas casas decimais corretas.

[04] Quantos pontos diferentes da parábola estão a uma distância igual a 4 u.c. do ponto A? Justifique sua resposta!

[05] Existe algum ponto da parábola que está a uma distância igual a 1 u.c. do ponto A? Por que sim? Por que não? 

[06] Será que é possível determinar o ponto p ótimo cuja aproximação você calculou no Item [03]? A resposta é sim! É possível demonstrar que os dois números reais p em D que minimizam a distância d são diferentes de zero e satisfazem a equação 

4 x^3 − 10 x = 0.

Resolva esta equação e determine os valores de p. Compare com sua resposta para o Item [03]. Importante: não se preocupe, neste momento, em saber como a equação acima foi obtida. Caso você faça a disciplina “Cálculo Diferencial e Integral” na universidade, você aprenderá técnicas matemáticas que permitem deduzir esta equação.

[07] Qual é a imagem da função f que você estabeleceu no item [02] (b)? Em quais intervalos a função f é crescente? E decrescente?

[08] Existe algum valor de x em D que maximiza a função que você estabeleceu no item [02] (b)? Por que sim? Por que não?

MÓDULO 3

[01] Sabendo a solução ótima do problema quando A = (1, 3), qual é a solução ótima quando A = (−1, 3)? É necessário fazer todas as contas novamente para responder esta questão?

[02] Existe alguma posição para o ponto A de forma que f(x) < 0 para algum x?

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