Usando o software, verifique que é possível construir uma pavimentação lado-lado do plano usando triângulos equiláteros. Qual é a soma dos ângulos dos triângulos equiláteros com vértice em um nó da pavimentação?

Usando o software, verifique que é possível construir uma pavimentação lado-lado do plano usando quadrados. Qual é a soma dos ângulos dos quadrados com vértice em um nó da pavimentação?

É possível construir uma pavimentação lado-lado do plano usando pentágonos regulares? Justifique sua resposta!

Usando o software, verifique que é possível construir uma pavimentação lado-lado do plano usando hexágonos regulares. Qual é a soma dos ângulos dos hexágonos regulares com vértice em um nó da pavimentação?

O objetivo deste exercício é provar que as únicas pavimentações lado-lado do plano com polígnos regulares de um só tipo são aquelas obtidas com triângulos equiláteros, quadrados e hexágonos regulares. Para isto, seja

α = (n − 2) 180°/n

a medida dos ângulos internos de um polígono regular com n lados (veja o Exercício [03] da Parte 1) e seja k o número de polígonos da pavimentação com um vértice comum. Note que

k α = 360°.

Verifique que k = 2n/(n − 2). Por que k deve ser maior do que ou igual a 3? Conclua que 2n/(n − 2) ≥ 3 e que, portanto, n ≤ 6. Assim, os únicos valores possíveis de n são 3, 4, 5 e 6. Mas pentágonos regulares não pavimentam o plano (Exercício [03]), portanto, as únicas pavimentações lado-lado do plano com polígonos regulares se um só tipo são aquelas com n = 3, n = 4 e n = 6.