[01]
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Seja k o número de polígonos incidindo em cada nó
da pavimentação. Mostre que 3 ≤ k ≤ 6.
Dica: o ângulo interno de qualquer polígono regular é maior do que
ou igual a 60°.
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[02]
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(Caso k = 3: três polígonos regulares incidindo em cada vértice)
Sejam n1,
n2 e
n3 o número de lados de cada um dos três
polígonos regulares incidindo em um vértice da pavimentação.
Podemos supor, sem perda de generalidade, que
n1 ≤
n2 ≤
n3.
(a)
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Verifique que
1/n1 +
1/n2 +
1/n3 = 1/2.
Em particular, segue-se que
1/n2 +
1/n3 =
(n1 − 2)/(2 n1).
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(b)
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Verifique
que
3 ≤
n1 ≤
6.
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(c)
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Verifique
que
1/n2 +
1/n2 ≥
(n1 − 2)/(2 n1).
Em particular, conclua que
n2 ≤
4n1/(n1 − 2).
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(d)
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(Subcaso n1 = 3)
De (a) segue-se que
1/n2 +
1/n3 =
1/6, ou ainda, que
1/n3 =
(n2 − 6)/(6 n2).
Como n3 > 0, segue-se que
n2 > 6. De (c), segue-se que
n2 ≤ 12. Logo,
7 ≤
n2 ≤ 12. Temos então as seguintes
possibilidades para este subcaso:
(n1, n2, n3) = (3, 7, 42),
(n1, n2, n3) = (3, 8, 24),
(n1, n2, n3) = (3, 9, 18),
(n1, n2, n3) = (3, 10, 15),
(n1, n2, n3) = (3, 12, 12).
A configuração (n1, n2, n3) = (3, 7, 42)
não é válida. Para ver isto, usaremos o argumento das “pétalas”: na figura abaixo,
suponha que a ordem dos polígonos em torno do vértice C seja 3 (triângulo equilátero), a = 7 e b = 42.
Então, a ordem dos polígonos em torno do vértice A deve ser, obrigatoriamente, 3 (triângulo equilátero), b = 42
e c = 7. Por outro lado, se considerarmos os polígonos em torno do vértice B, veremos
que a = 7 e c = 42, uma contradição. De fato, este raciocínio mostra que
a = b = c. Por este motivo, as configurações (3, 8, 24), (3, 9, 18),
e (3, 10, 15) também não são válidas. Logo, para este caso, apenas a configuração (3, 12, 12) sobrou.
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(e)
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(Subcaso n1 = 4)
Verifique que, neste subcaso,
5 ≤ n2 ≤ 8 e, como
n3 deve ser um número inteiro,
os únicos candidatos são
(n1, n2, n3) = (4, 5, 20),
(n1, n2, n3) = (4, 6, 12),
(n1, n2, n3) = (4, 8, 8).
O argumento das “pétalas” exclui o caso (4, 5, 20).
Sobram, portanto, as configurações (4, 6, 12) e (4, 8, 8).
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(f)
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(Subcaso n1 = 5)
Verifique que, neste subcaso,
5 ≤ n2 ≤ 6 e, como
n3 deve ser um número inteiro,
a única configuração canditata é (5, 5, 10). Use o argumento
das pétalas para mostrar que esta configuração não é válida.
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(g)
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(Subcaso n1 = 6)
Verifique que, neste subcaso,
n2 = 6 e, portanto,
n3 = 6.
A configuração (6, 6, 6) usa apenas um tipo
de polígono regular e ela foi estudada na Parte 2.
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Observação. Para o caso k = 3 (três polígonos regulares incidindo em cada vértice),
uma vez fixada para todos os nós da pavimentação,
a ordem em que os polígonos são colocados é irrelevante. Por exemplo,
a escolha (4, 6, 12) gera a mesma pavimentação que
(4, 12, 6). Para os casos k > 3, escolhas diferentes podem gerar
pavimentações diferentes.
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[03]
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(Caso k = 4: quatro polígonos regulares incidindo em cada vértice)
Sejam n1,
n2,
n3 e
n4 o número de lados de cada um dos quatro
polígonos regulares incidindo em um vértice da pavimentação.
Podemos supor, sem perda de generalidade, que
n1 ≤
n2 ≤
n3 ≤
n4.
(a)
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Verifique que
1/n1 +
1/n2 +
1/n3 +
1/n4 = 1.
Em particular, segue-se que
1/n2 +
1/n3 +
1/n4 =
(n1 − 1)/n1.
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(b)
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Verifique
que
3 ≤
n1 ≤
4.
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(c)
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Verifique
que
1/n2 +
1/n2 +
1/n2 ≥
(n1 − 1)/n1.
Em particular, conclua que
n2 ≤
3 n1/(n1 − 1).
Portanto, se n1 = 3, então
n2 ≤ 4 mas, como
n2 ≥ n1,
segue-se que n2 = 3 ou
n2 = 4.
Também, se n1 = 4, então
n2 ≤ 4 mas, como
n2 ≥ n1,
segue-se que n2 = 4.
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(d)
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(Subcaso n1 = 3 e
n2 = 3)
Use o item (a) para mostrar que n3 ≥ 4.
Lembrando que
n3 ≤ n4,
use (a) para mostrar que n3 ≤ 6.
Assim, 4 ≤ n3 ≤ 6. Usando mais uma vez o item (a)
e lembrando que n4 é um número inteiro,
temos então as seguintes possibilidades para este subcaso:
(3, 3, 4, 12) e
(3, 3, 6, 6).
Também precisamos considerar as seguintes permutações na ordem em que os
polígonos são colocados em torno de cada nó da pavimentação:
(3, 4, 3, 12) e
(3, 6, 3, 6).
As configurações (3, 3, 4, 12) e
(3, 3, 6, 6) não são válidas:
use o software desta atividade
para verificar que estas configurações implicam na existência de outro
vértice do tipo (3, 3, 3, ..., ...), o que viola
a condição de que a distribuição de polígonos ao redor de cada vértice é a mesma.
A configuração (3, 4, 3, 12) também não é válida:
use o software desta atividade para verificar que a existência de um
nó (3, 4, 3, 12) implica na existência de um nó (3, 12, 12),
o que viola
a condição de que a distribuição de polígonos ao redor de cada vértice é a mesma.
Sobra, portanto, a configuração (3, 6, 3, 6).
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(e)
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(Subcaso n1 = 3 e
n2 = 4)
Use o item (a) para mostrar que n3 ≥ 3.
Entretanto, como n3 ≥ n2,
segue-se que n3 ≥ 4.
Lembrando que
n3 ≤ n4,
use (a) para mostrar que n3 ≤ 4.
Assim, n3 = 4. Usando mais uma vez o item (a),
temos então a seguinte possibilidade para este subcaso:
(3, 4, 4, 6).
Também precisamos considerar a seguinte permutação na ordem em que os
polígonos são colocados em torno de cada nó da pavimentação:
(3, 4, 6, 4).
A configuração (3, 4, 4, 6) não é válida: use o software desta atividade
para verificar que a existência de um vértice (3, 4, 4 6)
implica na existência de um vértice do tipo (3, 4, 6, 4), o que viola
a condição de que a distribuição de polígonos ao redor de cada vértice é a mesma.
Sobra, portanto, a configuração (3, 4, 6, 4).
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(f)
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(Subcaso n1 = 4 e
n2 = 4)
Lembrando que
n3 ≤ n4,
use (a) para mostrar que n3 ≤ 4.
Como n3 ≥ n2 = 4,
segue-se que n3 = 4. Logo, por (a),
n4 = 4. A configuração (4, 4, 4, 4)
usa apenas um tipo
de polígono regular e ela foi estudada na Parte 2.
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[04]
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(Caso k = 5: cinco polígonos regulares incidindo em cada vértice)
Sejam n1,
n2,
n3,
n4 e
n5 o número de lados de cada um dos cinco
polígonos regulares incidindo em um vértice da pavimentação.
Podemos supor, sem perda de generalidade, que
n1 ≤
n2 ≤
n3 ≤
n4 ≤
n5.
(a)
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Verifique que
1/n1 +
1/n2 +
1/n3 +
1/n4 +
1/n5 = 3/2.
Em particular, segue-se que
1/n2 +
1/n3 +
1/n4 +
1/n5 =
(3 n1 − 2)/(2 n1).
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(b)
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Verifique
que
n1 = 3.
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(c)
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Verifique
que
1/n2 +
1/n2 +
1/n2 +
1/n2 ≥
(3 n1 − 2)/(2 n1).
Em particular, conclua que
n2 ≤
8 n1/(3 n1 − 2) = 24/7.
Como n2 ≥ n1 = 3, segue-se que
n2 = 3.
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(d)
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Verifique
que
1/n3 +
1/n4 +
1/n5 = 5/6.
Conclua que
1/n3 +
1/n3 +
1/n3 ≥ 5/6.
Logo, n3 ≤ 18/5.
Como n3 ≥ n2 = 3, segue-se que
n3 = 3.
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(e)
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Verifique
que
1/n4 +
1/n5 = 1/2.
Conclua que
1/n4 +
1/n4 ≥ 1/2.
Logo, n4 ≤ 4.
Como n4 ≥ n3 = 3, segue-se que
n4 = 3 ou
n4 = 4.
Se n4 = 3, então
n5 = 6 e,
se n4 = 4, então
n4 = 4.
Temos então as seguintes possibilidades para o caso k = 5:
(3, 3, 3, 3, 6) e
(3, 3, 3, 4, 4).
Também precisamos considerar a seguinte permutação na ordem em que os
polígonos são colocados em torno de cada nó da pavimentação:
(3, 3, 4, 3, 4).
Todas estas configurações são válidas.
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[05]
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(Caso k = 6: seis polígonos regulares incidindo em cada vértice)
Sejam n1,
n2,
n3,
n4,
n5 e
n6 o número de lados de cada um dos cinco
polígonos regulares incidindo em um vértice da pavimentação.
Verifique que
1/n1 +
1/n2 +
1/n3 +
1/n4 +
1/n5 +
1/n6 = 2.
Conclua que
n1 =
n2 =
n3 =
n4 =
n5 =
n6 = 3.
A configuração (3, 3, 3, 3, 3, 3) usa apenas um tipo de polígono regular e ela foi estudada na
Parte 2.
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Moral: existem 8 pavimentações arquimedianas. São elas:
(3, 12, 12),
(4, 6, 12),
(4, 8, 8),
(3, 6, 3, 6),
(3, 4, 6, 4),
(3, 3, 3, 3, 6),
(3, 3, 3, 4, 4) e
(3, 3, 4, 3, 4).
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