GUIA DO PROFESSOR

Caro professor, caso tenha algum questionamento de qualquer natureza, não hesite em nos contactar pelo e-mail:

conteudosdigitais@im.uff.br



DESCRIÇÃO

   Apresenta-se aqui um conjunto de atividades interativas que permite estudar o comportamento variacional da função quadrática. A sequência didática proposta é composta de cinco etapas.

   Numa primeira etapa são relembrados alguns tópicos já estudados da função quadrática: definição e interpretação geométrica dos coeficientes $a$, $b$ e $c$ que definem a função. Uma atividade produzida com o software GeoGebra é utilizada para auxiliar a interpretação geométrica. Como a interpretação do que ocorre com o gráfico da função quadrática quando variamos o coeficiente $b$ é mais sutil, foi pensada também uma atividade complementar com o mesmo software. Nesta atividade exibe-se o rastro do vértice da parábola para que o aluno possa perceber o que está acontecendo. Os cálculos algébricos e a demonstração de que o rastro do vértice da parábola é outra parábola são apresentados ao final da atividade. É importante que o aluno seja encorajado a encontrar a equação da parábola.

   Nas três etapas seguintes, desenvolve-se o estudo propriamente dito do comportamento variacional das funções quadráticas.

   Esse estudo é realizado inicialmente (no item de menu “Variação da função quadrática”) por meio de um aplicativo que faz uso do software GeoGebra e que permite ao aluno observar (gráfica e numericamente) que, uma vez escolhidos os valores dos parâmetros $a$, $b$, $c$ e $\Delta{x}$, as quantidades $\Delta{y}$ e $\displaystyle\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}$ variam com o valor de $x$. Outras questões poderiam ser formuladas ainda a partir do aplicativo como, por exemplo: se os valores de $\Delta{y}$ e de $\displaystyle\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}$ aumentam ou diminuem, à medida que os valores de $x$ aumentam? Tratam-se de questões intermediárias que servirão para estimular a realização da atividade complementar localizada no mesmo item de menu. Observe que a cor e o sentido do segmento orientado $\Delta{y}$ modificam de acordo com o seu sinal (espera-se, com esse efeito, auxiliar o aluno na sua avaliação do crescimento ou decrescimento dos valores de $\Delta{y}$). A atividade complementar é composta de dois applets do GeoGebra que apresentam de forma simultâneas o gráfico de uma função quadrática $f$ e o gráfico de $\Delta{y}$ em relação a $x$. A ferramenta “rastro”, ao ser habilitada (basta clicar no quadrado ao lado da expressão "Habilitar rastro"), possibilita observar que a relação entre $\Delta{y}$ é uma função afim de $x$. O que nos permite observar para o aluno que, uma vez escolhidos $x$ e $\Delta{x}$, os valores $\Delta{y}$ formarão uma progressão aritmética. Tal fato poderá ser comprovado na realização da atividade 3 (no item de menu “Função quadrática e sequências”).

   No item seguinte (Função quadrática e sequências), é apresentada uma atividade que procura estabelecer a relação entre uma progressão aritmética e a sequência formada pelas imagens dos elementos dessa progressão por uma função quadrática. Além de uma tabela interativa, uma célula contendo uma representação gráfica da situação escolhida é utilizada para a composição do cenário da atividade. Espera-se que o aluno conclua, observando a tabela, que, se $x_{n}$ é uma progressão aritmética e $f$ é uma função quadrática, então $f(x_{n})$ será uma progressão aritmética de segunda ordem, isto é, a sequência $\Delta{f(x_{n})}$ é que será uma progressão aritmética. A demonstração da propriedade observada é apresentada na solução das questões da atividade. Consideramos esse momento imprescindível! Só o cálculo algébrico dá a garantia efetiva de que o que foi observado tem validade para quaisquer $x_{0}$ e $\Delta{x}$ escolhidos, ainda que estes valores fossem irracionais (coisa que o computador não faz!). A janela gráfica do GeoGebra, dependendo dos valores escolhidos para os parâmetros, pode não ser elucidativa no caso da função quadrática. Lembre-se que é a sequência $\Delta{f(x_{n})}$ que é uma progressão aritmética!

   Em seguida é apresentada então a caracterização da função quadrática (quarto item do menu). A demonstração da caracterização não é apresentada ao aluno. Espera-se que o aluno fique convencido deste resultado por meio de sua intuição matemática tal e como fizeram Galileu e os primeiros matemáticos que se aventuraram no mundo do cálculo O professor que quiser ver uma demonstração do resultado pode consultar a referência (Lima et alii, 2001) ou acessar o ícone "Informações suplementares!" (lâmpada verde) na primeira página do módulo.

   E, por último, são apresentadas situações problemas que estimulam os alunos a “enxergar” a função escondida. Algumas animações em Flash são utilizadas para uma melhor visualização das situações descritas no enunciado dos problemas. Estas animações permitem também que os alunos observem os padrões que lhes permitirão concluir que a função quadrática é uma boa possibilidade para modelar o problema.


OBJETIVOS

   Estudar o comportamento variacional da função quadrática fazendo uso de recursos gráficos, numéricos e algébricos; caracterizar uma função quadrática por meio de seu comportamento variacional; usar processos de modelagem matemática para resolver problemas do cotidiano, tendo como referência o comportamento variacional da função quadrática; estimular no aluno o espírito crítico e intuitivo, fazendo com que crie conjecturas e sinta a necessidade de fazer generalizações.


QUANDO USAR?

   Sugerimos que a atividade seja usada de modo preferencial na terceira série do ensino médio. São necessários para o desenvolvimento da atividade que o aluno já tenha realizado um estudo preliminar de função afim, função quadrática e progressões aritméticas. Ter estudado progressões geométricas, retas e parábolas no plano ajudaria na compreensão e solução dos exercícios propostos.


COMO USAR?

   Decidir como usar o computador é uma questão que depende de alguns fatores: número de alunos na turma, número de computadores disponíveis no laboratório de informática e tempo disponível em sala de aula. Em virtude disto, vamos sugerir três estratégias de uso desta atividade:

1.

Como exercício extraclasse.

Nesta modalidade, você pode propor as duas atividades iniciais e os problemas no final do módulo para seus alunos como um dever de casa, para ser realizado fora do tempo de sala de aula, isto é, em um horário livre no laboratório da escola ou na própria casa do aluno, caso ele possua um computador. Tal procedimento seria mais no intuito de otimizar o seu tempo didático. Você pode definir um prazo predeterminado para a realização da atividade (por exemplo, uma semana). Achamos que não é preciso que você explique o funcionamento do software da atividade, pois os procedimentos para sua utilização estão detalhados na atividade. O ideal seria que você retomasse a apresentação dessas atividades a título de correção. Observe ainda que as animações em Flash contidas em alguns problemas (problemas 1, 2, 3 e 5) oferecem a possibilidade de fazer a proposta de novos problemas para a verificação da aprendizagem dos estudantes. Seria interessante que os professores criassem novos enunciados de problemas, fazendo uso do aplicativo. Sugestões serão bem-vindas. Envie suas criações para o nosso e-mail: conteudosdigitais@im.uff.br.

Por outro lado, não recomendamos que a atividade 2, sua atividade complementar, a atividade 3 e o item “Caracterização da função quadrática” sejam trabalhados dessa forma. Achamos a participação do professor fundamental para o devido apoio e adequação da linguagem na realização das atividades.

2.

Em sala de aula com um projetor multimídia (data show).

Se você tiver acesso a um projetor multimídia (data show) ou a um computador ligado na TV, você poderá usar o módulo completo em sala de aula. Sugere-se que você, neste caso, use e abuse do diálogo com os seus alunos. Para a realização de cada atividade escale um ou dois auxiliares para que realizem publicamente, e junto com os colegas, a atividade proposta sob sua orientação. Faça as intervenções que julgar necessário e tenha certeza de que ao terminar a atividade todos atingiram seu objetivo. Se necessário for, convoque o aluno que por ventura ainda tenha dúvida na realização da atividade para ser seu auxiliar. Ao mudar de atividade, mude também de auxiliares. Se precisar ir ao quadro, não se acanhe! Ele também é uma tecnologia a serviço do professor!

3.

Como uma atividade de laboratório sob a supervisão do professor.

A grande vantagem desta modalidade é que você poderá acompanhar de perto como os seus alunos estão interagindo com o computador. Por outro lado, a ação didática é mais descentralizada e heterogênea. O professor deve estar atento para garantir uma certa harmonia da realização da aula. “Freie”, se necessário, o avanço dos alunos com melhor rendimento propondo atividades extras ou utilizando-os como monitor. Além de ajudar os colegas que tenham mais dificuldade, ele também ajudará a você com o feedback da realização das atividades. Oriente os monitores que é para ajudar e, não, para fazer a atividade pelo colega.

   Para a realização do módulo sugerimos que o professor utilize duas aulas seguidas (100 minutos) para realizar as três primeiras etapas do módulo. O rendimento da aula em dois tempos seguidos é bem superior ao de dois tempos intervalados. Para a realização das duas últimas etapas, sugerem-se também mais dois tempos seguidos.

   Acreditamos que ao usar o laboratório de informática, e dependendo do perfil da turma, o professor poderá precisar mais do que os quatro tempos de aulas sugeridos anteriormente.

   Recomendamos fortemente que o aluno preencha algum tipo de questionário de acompanhamento, para avaliação posterior. Imprima a versão em rtf e peça que os alunos apresentem, por escrito, as suas respostas, raciocínios e cálculos durante a realização das atividades.

quadratica-aluno.rtf.

   Este formulário de acompanhamento do aluno também estará acessível na página principal da atividade através do seguinte ícone:

.


OBSERVAÇÕES METODOLÓGICAS

   Se tiver opção de escolha, prefira usar o laboratório de informática e recomende fortemente que os alunos usem e preencham o formulário de acompanhamento.

   Relatos de experiências (comprovados em nossos testes) mostram que os alunos têm forte resistência em preencher este tipo de formulário. Mais ainda: estes relatos mostram que, frequentemente, os alunos conseguem argumentar corretamente de forma verbal, mas enfrentam dificuldades ao fazer o registro escrito de suas ideias.

   Mesmo com as reclamações e resistência dos alunos, nossa sugestão é que você, professor, insista no preenchimento do formulário. Afinal, por vários motivos, é muito importante que o aluno adquira a habilidade de redigir corretamente um texto matemático que possa ser compreendido por outras pessoas. Sem contar que este material fornecerá, certamente, subsídios para que você possa avaliar a aprendizagem dos seus alunos.

   Lembre-se de fazer uso da figura do monitor. Você como professor da classe conhece bem seus alunos. Deixe-os de sobreaviso e dê as orientações necessárias para eles ao iniciar as atividades. A participação do professor nessa forma de ensino é bastante intensa. Você certamente não terá descanso! Mas temos certeza, valerá a pena!

   Seu aluno, além de dúvidas conceituais, poderá apresentar dúvidas com relação ao manuseio das ferramentas utilizadas nas atividades. Procure prever esses tipos de dúvidas, realizando você mesmo as atividades. Não esqueça também de nos avisar para que possamos aperfeiçoar o módulo.


OBSERVAÇÕES TÉCNICAS

   A atividade pode ser acessada usando um navegador (Firefox 2+ ou Internet Explorer 7+), através do link http://www.uff.br/cdme/quadratica/ (endereço alternativo: http://www.cdme.im-uff.mat.br/quadratica/). Se você preferir, solicite que o responsável pelo laboratório da sua escola instale a atividade para acesso off-line, isto é, sem a necessidade de conexão com a internet.

   Usuários do Internet Explorer devem baixar e instalar o programa gratuito MathPlayerSetup.exe (1.7 MB, (você pode baixá-lo gratuitamente clicando no nome do programa)) para poder visualizar as fórmulas matemáticas deste módulo. Usuários do Firefox não precisam se preocupar, pois este recurso já vem instalado com o próprio navegador. Para a realização plena das atividades deste módulo o seu navegador deverá ter também o plug-in do Flash Player (você pode baixá-lo em http://get.adobe.com/br/flashplayer).

   A atividade pode ser executada em qualquer sistema operacional: Windows, Linux e Mac OS. Porém, para executá-lo, é preciso que o computador tenha a linguagem JAVA instalada. A instalação da linguagem JAVA pode ser feita seguindo as orientações disponíveis no seguinte link http://www.java.com/pt_BR/.

   Importante: algumas distribuições Linux vêm com o interpretador JAVA GCJ Web Plugin que não é compatível com o applet da atividade. Neste caso, recomendamos que você solicite ao responsável pelo laboratório da escola que instale o interpretador nativo da Sun, disponível no link http://www.java.com/pt_BR/.

   Acessibilidade: a partir da Versão 2 do Firefox e da Versão 8 do Internet Explorer, é possível usar as combinações de teclas indicadas na tabela abaixo para ampliar ou reduzir uma página da internet, o que permite configurar estes navegadores para uma leitura mais agradável.

Combinação de Teclas Efeito
Ampliar
Reduzir
Voltar para a configuração inicial

   Vantagens deste esquema: (1) além de áreas de texto, este sistema de teclas amplia também figuras e aplicativos FLASH e (2) o sistema funciona para qualquer página da internet, mesmo para aquelas sem uma programação nativa de acessibilidade.

   Outra observação que deve ser feita diz respeito às ferramentas do software GeoGebra que se encontram disponíveis na realização das atividades. São elas:

Serve para mover um ponto na tela do GeoGebra. O seu uso torna-se necessário uma vez que tenha sido utilizada alguma outra ferramenta do GeoGebra.

Reinicia o applet do GeoGebra, mostrando a situação inicial da tela do GeoGebra. Deve ser utilizada principalmente quando o aluno usa sem critério as demais ferramentas e deseja-se voltar ao estado inicial.

Serve para deslocar os eixos do sistema de coordenadas.

Serve para ampliar a figura.

Serve para reduzir a figura.

   Para descobrir a utilidade de cada uma das ferramentas, basta que o aluno posicione o cursor do mouse sobre o ícone da mesma. Aparecerá em seguida, em uma janela, a função da ferramenta.

   Atenção: se você estiver usando a atividade offline através de uma cópia local em seu computador, é importante que os arquivos não estejam em um diretório cujo nome contenha acentos ou espaços.


DICAS

1.

Apesar das questões das atividades terem respostas, peça que os alunos registrem a forma como resolveram cada questão. Peça também que eles assinem o formulário de acompanhamento e que devolvam ao final da aula. No início da outra aula, entregue os formulários aos seus donos para que continuem a preenchê-los. Não esqueça de recolher, ao final da última atividade do módulo, para que você possa fazer uma avaliação da aprendizagem dos seus alunos. Este material será útil também para saber se o módulo proposto está cumprindo o seu objetivo.

2.

Para incluir um desenho gerado pelo software da atividade em editor de texto, você pode proceder como se segue: (a) pressione a tecla “PRINT SCRN” (isto irá capturar a tela do seu computador) (b) abra o programa Paint do Windows e, então, mantendo a tecla “CTRL” pressionada, pressione a tecla “v” (isto irá colar o desenho da tela no Paint), (c) recorte o desenho no Paint (existe uma ferramenta que faz isto), (d) salve a figura e inclua-a no documento aberto no editor.

3.

Não esqueça de sugerir aos alunos a leitura complementar que pode ser acessada no ícone “Informações suplementares!” (lâmpada verde), localizada na primeira página do módulo.

4.

Sugira que eles façam também as atividades do jogo “Como b depende de a?”, que pode ser acessado pelo link:

http://www.uff.br/cdme/c1d/c1d-html/c1d-br.html.

Ou pelo link:

http://www.cdme.im-uff.mat.br/c1d/c1d-html/c1d-br.html.

Nesta atividade eles terão contato com outra representação do conceito de função.

5.

Outro software educacional interessante e relacionado ao tema aqui proposto é o “Anatomia de uma função quadrática” que está disponível em http://www.uff.br/cdme/fqa/fqa-html/fqa-br.html ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/fqa/fqa-html/fqa-br.html. Neste software o aluno poderá observar propriedades e elementos gráficos e algébricos de uma função quadrática. Sugerimos que o uso deste software deveria anteceder a aplicação do software aqui apresentado.

6.

Uma sequência natural seria a realização, em ordem, dos módulos, “Variação da função afim”, “Variação da função quadrática” e “Variação da função exponencial”. Estes módulos podem ser acessados em http://www.uff.br/cdme ou http://www.cdme.im-uff.mat.br.

7.

A leitura do artigo “Galileu e as novas tecnologias no estudo das funções reais no ensino básico”, citado na referência, acreditamos, seria de grande valia para que o professor pudesse compreender o espírito da proposta deste módulo.

8.

Na referência são apresentados outros textos que serão bastante úteis para o professor. Vale a pena conferir!


DISCUSSÃO APÓS A REALIZAÇÃO DA ATIVIDADE

   Sugerimos fortemente que seja feita uma discussão com os alunos após a realização do módulo. Se você optou por levá-los ao laboratório, isto pode ser feito no próprio laboratório, logo após o término da última atividade. Sugira que façam um resumo do que aprenderam. Esta discussão pode incluir as diferentes estratégias de solução dos exercícios adotada por cada aluno, a comparação das respostas dos alunos, as dificuldades encontradas na realização dos exercícios, a ênfase em propriedades e resultados importantes, as informações suplementares, etc.


AVALIAÇÃO

   Como instrumento de avaliação, sugerimos que você peça para os alunos elaborarem um relatório descrevendo as perguntas e respostas apresentadas na discussão em sala de aula. Nesse relatório, o professor poderá avaliar as capacidades de compreensão, argumentação e organização do aluno. Recomendamos que o formulário de acompanhamento preenchido durante a realização da atividade seja anexado ao relatório.


REFERÊNCIAS

Bassanezi, R. C. (2002) Ensino-Aprendizagem com Modelagem Matemática. Rio de Janeiro: Ed. Contexto.

Boyer, C. B. (1949) The History of the Calculus and its Conceptual Development. New York: Dover Publications Inc.

Caraça, B. de J. (1948) Conceitos Fundamentais da Matemática. 9a edição. Lisboa: Livraria Sá da Costa Editora.

Hughes-Hallett, D., Gleason, A. M., Lock, P.  F., Flath, D. E. et al. (1999) Cálculo e Aplicações. São Paulo: Editora Edgard Blücher LTDA.

Lima, E.L., Carvalho, P. C. P., Wagner, E. & Morgado, A. C. (2001) A Matemática do Ensino Médio. Coleção do Professor de Matemática. V. 1. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática.

Mesa, Y.M.; Ochoa, J.A.V. (2008). La Importancia de Galileo en la Construcción Histórica del Concepto de Función Cuadrática. Em: Anais do IV HTEM (IV Colóquio de História e Tecnologias no Ensino de Matemática). [CD-ROM]. Rio de Janeiro, 2008, UFRJ, Rio de Janeiro.

Rezende, W. M. (2008) Galileu e as novas tecnologias no estudo das funções reais no ensino básico. EM: Anais do IV HTEM (IV Colóquio de História e Tecnologias no Ensino de Matemática). [CD-ROM]. Rio de Janeiro, 2008, UFRJ, Rio de Janeiro. Disponível em http://www.professores.uff.br/wmrezende.

Rossini, R. (2006) Saberes docentes sobre o tema função: uma investigação das praxeologias. Tese de doutorado. Programa de Pós-graduação em Educação Matemática, PUC-SP, São Paulo, 2006.

Rüthing, D. (1984) Some Definitions of The Concept of Function from Joh. Bernoulli to N. Bourbaki. The Mathematical Intelligencer, 6, (4), 72-77.

Sierpinska, A. (1992) On understanding the notion of function. In: Dubinsky, E. & Harel, G. (eds.), The Concept of Function: Elements of Pedagogy and Epistemolgy. Notes and Reports Series of the Mathematical Association of America, 25, 25-58.

Youschkevitch, A. P. (1976/77). The Concept of Function up to the Middle of the 19th Century. Archive for History of Exact Sciences, 16, 37-85.

Weisstein, E. W. (2009) MathWorld–A Wolfram Web Resource.
Disponível em: http://mathworld.wolfram.com/.


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