ESPIRAIS LOGARÍTMICAS

Para cada ângulo θ, marque o ponto P sobre a semirreta que passa por A e faz ângulo θ com o eixo-x, de tal forma que a distância r de P a A seja igual a

r = a e^{b θ},

onde a e b são constantes não-negativas. O lugar geométrico do ponto P quando θ varia nos reais é denominado espiral logarítmica plana de centro no ponto A, fator de escala a e fator de crescimento b.

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ESPIRAIS ÁUREAS

Uma espiral áurea (também conhecida como espiral dourada) é uma espiral logarítmica com um valor específico para o fator de crescimento b:

Aqui, como sempre, a letra grega fi representa o número de ouro. Reforçando: toda espiral áurea é uma espiral logarítmica, mas nem toda espiral logarítmica é uma espiral áurea!

ESPIRAIS ÁUREAS EM CONCHAS DE NÁUTILOS

Muitos afirmam que as conchas dos náutilos (um tipo de molusco cefalópode) assumem o formato de uma espiral áurea. No software abaixo, a espiral laranja é uma espiral áurea. Você pode mover os pontos A e B (clique e arraste) para tentar ajustar o seu formato ao formato da concha. Conseguiu? Não, não é? Agora, ative a caixa de opção “Exibir espiral logarítmica configurável” para tentar fazer uma aproximação com uma espiral logarítmica arbitrária. Mova o ponto V para ajustar o valor de a e o ponto sobre o segmento de reta amarelo para ajustar o valor de b (clique e arraste). Note que, para obter melhores aproximações do formato da concha, é necessário usar fatores de crescimento b diferentes daquele que define uma espiral áurea. Ainda não encontramos uma foto de uma concha de um náutilo no formato da espiral áurea. Náutilos áureos parecem não existir.