1.
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No Livro VI dos Elementos, Euclides dá a seguinte definição:
um segmento de reta se diz dividido em média e extrema razão,
se a razão entre o menor e o maior dos segmentos é igual à razão entre o maior e o segmento todo.
Supondo que o segmento todo tem comprimento 1 e que segmento maior tem medida x, então
a definição de Euclides pode ser traduzida na seguinte equação:
Daí, segue-se que x2 + x − 1 = 0 e,
como x é positivo, obtemos que
Consequentemente,
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2.
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O número de ouro é a única raiz positiva da função quadrática
y = f(x) = x2 − x − 1.
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3.
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Vale que
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4.
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O número de ouro está presente no pentágono regular! Considere
um pentágono regular cujos lados medem 1. Então sua diagonal d
tem medida igual ao número de ouro.
De fato: considere a figura acima, onde o pentágono regular ABCDE
tem lado 1 e P é o ponto de interseção das diagonais AD e BE.
O triângulo PDE é isósceles, com DE = DP = 1. Escrevendo
AP = 1/x, temos que
é o comprimento da diagonal do pentágono. Observe que o triângulo APE é
isósceles e, portanto,
Como os triângulos ABD e PDE são semelhantes, temos que
Usando que d = 1 + 1/x, chegamos à equação quadrática
x2 − x − 1= 0, donde
Consequentemente
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5.
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O número de ouro também está presente no decágono regular!
Clique sucessivamente nos botões “−>” e “<−” abaixo
para ver como as diagonais de um decágono regular geram vários segmentos divididos na razão áurea.
Desafio: tente demonstrar que estes segmentos estão, de fato, divididos na razão áurea.
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6.
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O número de ouro também está presente no dodecaedro regular e no icosaedro regular! Na figura
abaixo, os três retângulos inscritos no icosaedro regular são retângulos áureos (e são perpendiculares entre si)!
Para girar a figura, clique e arraste.
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7.
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É possível dividir um segmento AB na razão áurea usando régua e compasso apenas.
Clique sucessivamente nos botões “<-” e “->” abaixo
para ver os vários passos que compõem a construção.
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