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  As propriedades da função simetria axial como uma involução
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  1º DESAFIO:
  
  a) Verificação de que: F_m é uma função bijetiva.
  
  Inicialmente deve ser verificado que F_m é injetiva. Sejam P e Q pontos do plano, tais que F_m(P) = F_m(Q).
  
  De resultado da Geometria Euclidiana, sabe-se que existe uma única reta t que passa pelo ponto P e é perpendicular à reta m. Seja U ponto de interseção de t e m. Daí,
  
  

  _______		_______
  Fm(P)U	=	Fm(Q)U

  
  Do fato, de F_m ser uma simetria em relação a m, os pontos P e Q pertencem a t e estão em um semiplano oposto àquele ao qual F_m(P) pertence.
  Suponha P ≠ Q. Então, de propriedade da distância tem-se que
  
  

  ___	≠ 0	(1)
  PQ

  
  
  Q está entre P e U. Daí, e de um dos axiomas de medida da Geometria Euclidiana,
  
  

  ___		___		___
  PU	=	PQ	+	QU	(2)

  
  
  Do fato de F_m ser uma simetria, tem-se
  
  

  ___		__________		___		______
  PQ	=	Fm(P)Fm(Q)	e	QU	=	Fm(Q)U	(3)

  
  Portanto, de (1), (2) e (3)
  
  
  

  ___

  ___

  __________

  ______

  ______

  ___

  ___

  PQ

  +

  QU

  =

  Fm(P)Fm(Q)

  +

  Fm(Q)U

  =

  Fm(Q)U

  =

  QU

  de onde

  PQ

  =0

  
  
  Logo, P = Q .
  
  Observe, a seguir, que F_m é sobrejetiva.
  
  De fato, seja W ponto do plano. De resultado da Geometria Euclidiana, existe uma única reta t que passa pelo ponto W e é perpendicular a m. Seja U o ponto de interseção de t e m.
  
  Tomando-se P pondo de t, tal que PU = F_m(P)U , tem-se que F_m(P)=W, pois F_m(P) é o simétrico de P. Portanto, para todo ponto W do plano, existe P em t tal que F_m(P)=W é o simétrico de P.
  
  
  b) Verificação de que: F_m(F_m(A)) = A , qualquer que seja o ponto A do plano.
  
  Sejam A e A' pontos do plano, tais que F_m(A)=A'. Daí, como F_m é simetria axial, então existe U, ponto médio do segmento AA', tal que
  
  

  AU = A'U

  (1)

  
  
  Seja A'' ponto do plano, tal que F_m(F_m(A)) = F_m(A') = A''. Como F_m é simetria axial, então existe Q, ponto médio do segmento A'A'', tal que
  
  

  A'Q = A''Q

  (2)

  
  
  Mas do fato de AA' e A'A'' serem perpendiculares a m, como existe uma única reta que passa por A' e é perpendicular a m, logo A, A' e A'' são colineares e U = Q, pois AA' ∩ m = {U} e A'A'' ∩ m = {Q}. Daí, de (1) e (2), tem-se AU = A'U = A''U.
  
  Como pela definição de pontos simétricos A e A' estão em semiplanos diferentes, o mesmo acontecendo com A' e A'', tem-se que A e A'' estão no mesmo semiplano. Daí e do fato de que U ser o ponto médio dos segmentos AA' e A'A'', tem-se que A = A'' . Logo, F_m(F_m(A)) - A, para todo ponto A do plano.
  
  
  c) Verificação de que: F_m(A) = A, se A é ponto do plano e A m.
  
  Seja A ponto do plano. Suponha que
  
  

  Fm(A) = A

  (1)

  
  De resultado da Geometria Euclidiana, existe uma única reta t perpendicular a reta m passando por A. Seja U ponto de interseção de t e m. Daí, de (1) e como F_m é uma simetria axial, o segmento AA está contido na reta t e
  
  

  U é ponto médio do segmento AA

  (2)

  
  Mas de propriedade de distância AA = 0. Daí e de (2) tem-se que U = A. Logo, A está em m.
  
  
  d) Verificação de que: se A m então F_m(A) = A.
  
  Seja A ponto do plano, tal que

  A m	(1)
  Seja U (t ∩ m)	(2)
  onde t é a única reta que passa pelo ponto A e é perpendicular a m.	(3)
  Como Fm é simetria axial, o segmento AFm(A) ⊂ t e AU = Fm(A)U	(4)

  
  Mas de (1), A está em m e de (3), A está em t . Logo, A está em (t ∩ m) . Daí e de (2), A = U. Então, de propriedade de distância, tem-se AU = AA = 0. Daí e de (4), F_m(A)U = F_m(A)A = 0, logo
  F_m(A) = a
  
  e) Verificação de que: (F_m)^-1 = F_m e, portanto, é uma involução.
  
  Como F_m é bijetiva, então admite função inversa e portanto, existe F_m^-1 tal que F_mF_m^-1 = F_m^-1F_m = I, onde I é a função identidade. Mas como F_m(F_m(A)) = A = I(A), para todo ponto A do plano, tem-se, F_mF_m = I e F_m = F_mI = F_m(F_mF_m^-1) = (F_mF_m)F_m^-1 = IF_m^-1 = F_m^-1
  
  Logo, F_m = F_m^-1.